Théorème du point fixe :
Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue telle que \(\forall x\in[a,b],f(x)\in[a,b]\)
Alors il existe \(x_0\in[a,b]\) tel que \(f(x_0)=x_0\)
(Continuité, Transformation)
Théorème du point fixe :
\(f\) est une fonction réelle définie sur un intervalle \(I\)
\(f\) est à valeur dans \(I\)
\(f\) est continue
\((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite définie par : $$\begin{cases} u_0\in I\\ u_{n+1}=f(u_n)\qquad\forall n\in{\Bbb N}\end{cases}$$
\((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge vers une valeur \(\ell\)
\(\ell\in I\)
$$\Huge\implies$$
\(\ell\) est une solution de l'équation $$f(x)=x$$ (\(\ell\) est un point fixe de \(f\))
